教えるBBQ

昨日書いた回答では、「もう少し、エレガントな考え方があるのかもしれませんね。」 と書いたのですが、それが気になっていて・・・

それで、考えていたら、閃きました。シンプルな解法を。

昨日の回答のように、いろいろと場合分けする必要もなさそうです。

要するに、サイコロの目の和が（ｎ＋３）で、サイコロの数がｎ個であるような場合の数を数え上げられれば良いわけですから、
●｜●●｜●｜●●｜・・・・・・｜●
のような並びを考えます。

上の並びにおいて、「｜」はサイコロとサイコロとの区切りを表します。 そして、そのように区切られたサイコロの目の数が、赤の「●」と黒の「●」の数の合計です。

つまり、本問題では、「｜」の数は（ｎ−１）個、赤の「●」の数はｎ個、黒の「●」の数は３個です。 また、１個の赤の「●」は、必ず１個のサイコロに対応するように「｜」によってくりられています。 これは、サイコロの目が１以上であることに対応しています。

ここまで準備ができると、あとは、黒の「●」と区切りの「｜」との組み合わせを数え上げればよいわけで、それは、
_3+(n-1)Ｃ₃
です。すなわち、これは、
_n+2Ｃ₃
で、つまり、
ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)／６
です。

これをすべての場合の数（６ⁿ）で割ったものが求めるべき確率ですから、答えは、
ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)／６ⁿ⁺¹
です。

これは、京都大学の入試問題とのことですが、割と簡単ですね。

ｎ個のさいころの目の和が（ｎ＋３）になるという場合は、限られますので、それらを素直に列挙して数え上げる方法で解けそうです。

但し、ｎによる場合分けも行います。

［１］ｎ≧３の場合

まず、ｎ個のうちの１個の目が「４」で、残りのｎ−１個の目が「１」の場合：
→　_nＰ₁で、ｎ通り

次に、ｎ個のうちの１個の目が「３」で、他の１個の目が「２」で、残りのｎ−２個の目が「１」の場合：
→　_nＰ₂で、ｎ（ｎ−１）通り

最後に、ｎ個のうちの３個の目が「２」で、残りのｎ−３個の目が「１」の場合：
→　_nＣ₃で、ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６通り

そして、これらの合計を計算すると、 ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６

ｎ個のサイコロの目のパターンは６ⁿ通りであるので、求めるべき確率は、
ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６ⁿ⁺¹

［２］ｎ＝２の場合

２個のさいころの目の和が（ｎ＋３）、すなわち５となるのは、４通りであるので、求めるべき確率は、
４／６²、つまり１／９

なお、これを下の式で表すこともできます。
ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６ⁿ⁺¹

［３］ｎ＝１の場合

１個のさいころの目が「４」の場合だけですので、求めるべき確率は、
１／６

なお、これを下の式で表すこともできます。
ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６ⁿ⁺¹

［１］〜［３］に場合分けしましたが、すべて、
ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６ⁿ⁺¹
で表せますね。ということは、もう少し、エレガントな考え方があるのかもしれませんね。

ジャンル：確率/数学